Les hobbyistes britanniques stupéfient le monde des mathématiques avec de nouvelles formes "incroyables".

10 juin 2023

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par Daniel Lawler

David Smith, un technicien d'impression retraité du nord de l'Angleterre, poursuivait son passe-temps de recherche de formes intéressantes lorsqu'il est tombé sur une forme unique en son genre en novembre.

Lorsque Smith a partagé sa forme avec le monde en mars, des fans excités l'ont imprimée sur des t-shirts, cousue dans des quilts, utilisée comme emporte-pièce ou pour remplacer les hexagones sur un ballon de soccer - certains ont même fait des projets de tatouages.

Le polygone à 13 côtés, que Smith, âgé de 64 ans, a appelé « le chapeau », est la première forme unique jamais trouvée qui peut couvrir complètement une surface plane infiniment grande sans jamais répéter le même motif.

Cela en fait le premier « einstein » - nommé d'après l'allemand pour « une pierre » (ein stein), et non le célèbre physicien - et résout un problème posé il y a 60 ans que certains mathématiciens pensaient impossible.

Après avoir ébloui le monde des mathématiques, Smith - un amateur sans formation qui a déclaré à l'AFP qu'il n'était pas doué en mathématiques à l'école - l'a fait à nouveau.

Alors que tout le monde était d'accord pour dire que le chapeau était le premier einstein, son image miroir était requise une fois sur sept pour s'assurer qu'un motif ne se répétait jamais.

Mais dans une étude préliminaire publiée en ligne fin du mois dernier, Smith et les trois mathématiciens qui l'ont aidé à confirmer la découverte ont révélé une nouvelle forme - « le spectre ».

Il ne nécessite aucune image miroir, en faisant un einstein encore plus pur.

Craig Kaplan, informaticien à l'Université de Waterloo au Canada, a déclaré à l'AFP que c'était « une histoire amusante et presque ridicule, mais merveilleuse ».

Il a dit que Smith, un technicien d'impression retraité qui vit à East Riding dans le Yorkshire, lui a envoyé un e-mail « sans raison » en novembre.

Smith avait trouvé quelque chose « qui ne répondait pas à ses attentes normales quant au comportement des formes », a déclaré Kaplan.

Si vous emboîtiez un tas de ces formes en carton sur une table, vous pourriez continuer à construire vers l'extérieur sans qu'elles ne se stabilisent jamais dans un motif régulier.

En utilisant des programmes informatiques, Kaplan et deux autres mathématiciens ont montré que la forme continuait à le faire sur un plan infini, en faisant le premier einstein ou « monotile» a période.

Lorsqu'ils ont publié leur première prépublication en mars, l'un des inspirés était Yoshiaki Araki. L'enthousiaste japonais du carrelage a créé de l'art en utilisant le chapeau et une autre forme périodique créée par l'équipe appelée « la tortue », parfois en utilisant des versions inversées.

Smith a été inspiré en retour et a commencé à jouer avec des façons d'éviter d'avoir besoin d'inverser son chapeau.

Moins d'une semaine après leur première publication, Smith a envoyé un e-mail à Kaplan avec une nouvelle forme.

Kaplan a refusé de le croire au début. « Il n'y a aucun moyen que cela puisse être si facile », a-t-il dit.

Mais l'analyse a confirmé que Tile (1,1) était un « einstein non réfléchissant », a déclaré Kaplan.

Quelque chose les a encore dérangés — bien que ce carreau puisse continuer indéfiniment sans répéter un motif, cela nécessitait une « interdiction artificielle » d'utiliser une forme inversée, a-t-il déclaré.

Alors, ils ont ajouté de petites encoches ou courbes aux bords, s'assurant que seule la version non inversée pouvait être utilisée, créant ainsi « le spectre ».

Kaplan a déclaré que leurs deux documents avaient été soumis à des revues par des pairs. Mais le monde des mathématiques n'a pas attendu pour exprimer son étonnement.

Marjorie Senechal, mathématicienne au Smith College aux États-Unis, a déclaré à l'AFP que les découvertes étaient « passionnantes, surprenantes et incroyables ».

Elle a déclaré s'attendre à ce que le spectre et ses proches « conduisent à une compréhension plus profonde de l'ordre dans la nature et la nature de l'ordre ».

Doris Schattschneider, mathématicienne au Moravian College aux États-Unis, a déclaré que les deux formes étaient « époustouflantes ».

Même le mathématicien Roger Penrose, lauréat du prix Nobel, dont le meilleur effort précédent avait réduit le nombre de carreaux apériodiques à deux dans les années 1970, n'était pas sûr qu'une telle chose soit possible, a déclaré Schattschneider.

Penrose, 91 ans, sera parmi ceux qui célébreront les nouvelles formes lors de l'événement « Hatfest » de deux jours à l'Université d'Oxford le mois prochain.

Tous ceux qui y ont participé ont exprimé leur étonnement devant la percée réalisée par quelqu'un sans formation en mathématiques.

« La réponse est tombée du ciel et entre les mains d'un amateur - et je veux dire cela dans le meilleur sens du terme, un amoureux du sujet qui l'explore en dehors de la pratique professionnelle », a déclaré Kaplan. « C'est le genre de chose qui ne devrait pas arriver, mais heureusement pour l'histoire de la science, elle se produit parfois, où un éclair nous apporte la réponse tout à coup. »

© 2023 AFP